Mt1450 Geometrie en Stabiliteit - Lijnenplan en Numerieke Integratie - 2015 - 2016
Statica (WB1630-16)
Technische Universiteit Delft
Aanbevolen voor jou
Reacties
Andere studenten bekeken ook
Gerelateerde Studylists
tu studiePreview tekst
MT1450 Geometrie en Stabiliteit Opdracht 2 Lijnenplan en Numerieke Integratie dr. P. de Jong C. Thill v1 September 2015 1 MT1450 Geometrie en Stabiliteit 2 MT1450 Geometrie en Stabiliteit 3 Figuur 1 Een lijnenplan Bijvoorbeeld: A is de breedte van ordinaat 16 ter hoogte van waterlijn B is de breedte van ordinaat 18 op waterlijn 1. De verbanden tussen de projecties zijn met dikke streeplijnen duidelijk aangegeven. In het achterschip zijn nog de volgende verbanden aangegeven: C is de breedte van de spiegel t.p. het D wordt langs de schuine lijn (kimsent) opgemeten en in het sentenplan op de desbetreffende ordinaat uitgezet. Uit Geometrie of op dat er een hoge mate van redundantie (overbodigheid) is in het lijnenplan. In principe zijn twee aanzichten voldoende om een drie dimensionale curve vast te leggen. De contouren in ieder van de aanzichten leggen in principe het oppervlak vast. Bij het tekenen van het lijnenplan is er veel aandacht nodig bij het in overeenstemming brengen van de verschillende aanzichten binnen tolereerbare marges Dit betekent dan ook dat er zorgvuldig gewerkt zal moeten worden aan deze opdracht om ervoor te zorgen dat er een goed lijnenplan verkregen wordt. De vorm van het schip die wordt vastgelegd in het lijnenplan is de buitenkant van de scheepshoud, de binnenkant van de scheepshuid (en dus de buitenkant van de spanten) of de binnenkant van de spanten. Dit is afhankelijk van het constructiemateriaal en van de constructiemethode. Voor een schip gebouwd van een metalen constructie wordt in principe de binnenkant van de huid gebruikt, de zogenaamde gemalde vorm. Dit heeft te maken met de plaatdiktes over de scheepshuid. Voor de meeste overige scheepsconstructies wordt de buitenkant van de scheepshoud gebruikt. Dit betekent ook dat de meeste hoofdafmetingen betrekking hebben op dezelfde gemalde vorm, en dus op de binnenkant van de scheepshuid gemeten worden. 2 Het stroken (fairing) Een lijn strookt als het verloop van de kromtestraal over de lijn continu is. De kromtestraal van een lijn is net als bij de straal van een cirkel de afstand vanaf de lijn tot het punt waar de stralen van twee opeenvolgende punten van de lijn elkaar snijden. Een rechte lijn heeft dus een oneindige kromtestraal. De lijnen in het lijnenplan moeten goed stroken. Dit omdat een goed gestrookt schip minder weerstand heeft dan een schip dat niet goed gestrookt is. Het stroken van het lijnenplan kan op twee manieren, met een strooklat en met mallen. 2.3 Stroken met een strooklat (drafting spline) Voor het tekenen van de waterlijnenplan wordt de strooklat gebruikt. Door op regelmatige afstanden een tekenlood op de lat te plaatsen is het mogelijk een strokende lijn te tekenen, zie figuur 2. Om te controleren of de lijn nu echt strookt moeten, na het plaatsen, de tekenloden voor opgetild worden. Als de lat hierbij niet meer verspringt is de lijn langs de lat strokend. Figuur 2 De strooklat (drafting spline) en het gebruik van tekenloden 2.4 Het opzetten van de tekening Om te kunnen starten met het tekenen zal eerst de schaal bekend moeten zijn. De schaal wordt bepaald aan de hand van de lengte van het schip. De geschaalde lengte moet op het papier passen maar het ook goed benutten. Hierna kan gestart worden met het opzetten van een assenstelsel waarin de overige lijnen later kunnen worden weergegeven. Dit assenstelsel heet het netwerk. Onder het netwerk verstaat men alle rechte lijnen die in het lijnenplan voorkomen en als dienst doen. Opmerking: Voor deze opdracht is het netwerk al opgezet en afgedrukt op de uit te reiken tekenvellen. Dit is gedaan omdat er geen tekentafels ter beschikking van de studenten staan. Hiervan kan dan gebruik worden gemaakt voor het tekenen en stroken van de lijnen van het schip. 2.4 De scheepscontour In het netwerk kan nu gestart worden met het tekenen van de contouren van het en achterschip. Ook de verschansing en het hoofddek kunnen in het langsplan getekend worden. Hiervoor zijn in de opgave de scheepscontouren aangegeven die op de schaal van het lijnenplan in het lijnenplan moeten worden overgenomen. Zie voor meer uitleg hierover sectie 2 van deze handleiding. De contouren en de gestrookte lijnen kunnen het beste met een 2H potlood getekend worden. 2.4 De waterlijnen (waterlines) Voor deze oefening moeten de waterlijnen op de diepgangen 0, en T getekend worden. Vaak worden in een lijnenplan ook de waterlijnen ter plaatse van tussendekken getekend om de vorm en de indeling van het dek te kunnen bepalen. Deze deklijnen worden op een zelfde manier getekend als de waterlijnen. Opmerking: In deze oefening hoeven geen tussendekken te worden getekend. De waterlijnen worden getekend door gebruik te maken van de spantentabel. In de spantentabel ontbreken de breedten van ordinaat in het en in het voorschip. Per waterlijn worden de breedten ter plaatse van elke ordinaat uitgezet. Door deze punten kan vervolgens de waterlijn gestrookt worden. De breedte van de ontbrekende ordinaten wordt nu vanzelf gevonden m.b. de strokende lijn die getekend is. Het uitstroken van de waterlijnen moet begonnen worden met het tekenen van de CWL (diepgangslijn) en daarna de daaronder liggende waterlijnen. Vervolgens worden de waterlijnen en dekken enz. boven de CWL getekend. Het begin en het eind van een waterlijn worden bepaald door de vorm van de en achterstevencontour. Door in het langsplan de snijpunten van de waterlijnen met de voorstevencontour in het waterlijnenplan te projecteren op hart schip kunnen de start en eindpunten bepaald worden. Rest nu nog de punten strokend te verbinden. Voor de aansluiting van de waterlijnen op de voorsteven en achtersteven moeten de aanwijzingen uit de figuren 4 en 5 gevolgd worden. Bij figuur 4 kunnen de volgende opmerkingen gemaakt worden: in het waterlijnenplan worden de lijnen doorgestrookt tot de hartschiplijn, zie figuur dit geeft in het langsplan aanleiding tot het tekenen van een doorgestrookte voorsteven, zie in het spantenraam worden de breedten van de doorgestrookte lijnen t.p. het einde van de voorsteven uitgezet, zie in het waterlijnenplan verbindt de stevenlijn de punten van waterlijnen en dekken t.p. het einde van de steven, zie bij het afwerken van de lijnentekening worden de waterlijnen en dekken afgerond, zie 4d en 4e. Figuur 4 Aansnijding waterlijnen op de voorsteven 2.4 Het langsplan (sheer plan) Er worden in deze oefening twee verticalen ( buttock lines) per scheepshelft getekend. Een op en een op van de halve breedte. De verticalen worden in het spantenraam en in het waterlijnenplan ingetekend. Nu kunnen zowel uit het spantenraam als uit het waterlijnenplan punten worden opgemeten voor het uitzetten van de verticalen in het langsplan. Na het uitzetten van deze punten per verticaal kunnen de verticalen gestrookt worden in het langsplan. Controleer nu of de maten uit de verschillende aanzichten consistent zijn. Opmerking: Meestal is het niet mogelijk de verticalen met een strooklat te tekenen, omdat de krommingen te groot zijn of vanwege meerdere buigpunten. Maak hiervoor daarom gebruik van de Kopenhager scheepsmallen. 2.4 Het sentenplan Voor het tekenen van het sentenplan moeten eerst twee hulplijnen worden getrokken in het spantenraam. Deze lijnen lopen van hart schip ter hoogte van de constructiewaterlijn naar het snijpunt van de halve breedte en de basislijn van het grootspant (zie figuur 1). Hiermee construeren we de kimsent. Dit doen we door de afstand over deze lijn vanuit hartschip tot het spant uit te zetten op de betreffende ordinaat in het sentenplan. Ook de kimsent moet stroken om aan de eisen van een goede rompvorm te voldoen. 2 Werkvolgorde Resumerend is de volgorde voor het tekenen en uitstroken van de scheepslijnen als volgt: a) opzetten van de contouren in het b) uit de spantentabel de cwl breedten uitzetten en uitstroken in het c) daarna de onderliggende en bovenliggende waterlijnen en dekken d) de breedte op elk spant uit het waterlijnenplan overnemen en uitzetten in het e) uit het waterlijnenplan en het spantenraam de verticalen in het langsplan eventuele foutjes direct N.: altijd vanuit twee projecties f) uit het spantenraam de op elk spant de lengte langs de kimsent opmeten, uitzetten in het sentenplan en de kimsent g) nadat alles compleet is en klopt, (indien nodig) de tekening schoon maken (gummen) en met potlood 2H of 3H de lijnen ophalen (scherpe daarna de bijschriften in potlood bijschrijven, gebruik bij voorkeur potlood HB. 2 Benamingen en afmetingen Om het lijnenplan compleet te maken moeten de naam van het schip, de tekenaar, de schaal van de tekening en de datum rechts onder in de tekening vermeld worden. Voor de definities van de verschillende afmetingen, zie Geometry of sectie 1. Daarboven of daarnaast moeten de volgende hoofdafmetingen vermeld worden, zie figuur 1: Lengte over alles Loa Lwl Lord B D m Lengte waterlijn Lengte tussen de ordinaten (0 en 20) Grootste gemalde breedte Holte in de zijde tot bovendek op L Ontwerpdiepgang op L Kimstraal m m m m T R m m 2 Offset table In Figuur 6 is een voorbeeld gegeven van een offset tabel met de scheepscontouren en hoofdafmetingen zoals deze uitgereikt worden bij deze opdracht. De offsets kunnen na omgeschaald te zijn naar de schaal van de tekening in de tekening op het netwerk uitgezet worden. Er zijn twee spanten die ontbreken (de lege kolommen in de tabel), deze dienen door de student zelf geconstrueerd te worden tijdens het tekenen van het lijnenplan, door goed en nauwkeurig te stroken. De stevencontouren zijn in de juiste verhouding afgebeeld op het opdrachtvel, maar moeten eventueel nog een beetje geschaald (opgerekt) worden om in de tekening ingetekend te worden. Hierbij kan gebruik gemaakt worden van het feit dat de basislijn, de constructiewaterlijn, het hoofddek en het voorkasteel afgebeeld staan in de contouren. Ook dient de afstand stern to ord. gegeven bovenaan de pagina overeen te komen met de horizontale afstand van de spiegel tot ordinaat 0 in de stevencontour. In principe dient dezelfde schaalfactor gebruikt te worden in zowel de lengterichting als de hoogterichting voor beide contouren. De lengte L op het opdrachtvel komt overeen met de lengte tussen de ordinaten Lord. Voor het einde van het bakdek (verhoogde voordek) maak gebruik van Figuur 7. Figuur 6 Offset tabel Figuur 7 Einde van bakdek 3 Numerieke Integratie 3 Inleiding In het voorgaande deel van de opdracht is het lijnenplan opgezet en getekend. De volgende stap in het scheepsontwerp is om de hydrostatische eigenschappen van dit lijnenplan te bepalen. De belangrijkste hydrostatische eigenschappen zijn het volume van het onderwaterschip, ofwel de of het en de ligging van het zwaartepunt van het onderwatervolume. Deze twee eigenschappen zijn noodzakelijk om het draagvermogen van het schip te bepalen en om ervoor te zorgen dat het schip rechtop (zonder helling in dwarsrichting of trim in langsrichting) in het water komt te liggen. Een laatste aspect wat van belang is voor de stabiliteit van het schip, is het dwarstraagheidsmoment van het waterlijnoppervlak. De achtergronden en verdere uitleg over het evenwicht van drijvende constructies en stabiliteit komen aan bod in het college Statica (voor MT). In deze handleiding worden alvast de technieken uitgelegd om bovenstaande zaken, ook wel de genoemd, te bepalen uit het lijnenplan. Daar het lijnenplan bestaat uit lijnen die getekend zijn op papier, bestaat er geen wiskundige beschrijving van de scheepshuid. Dit betekent dan ook dat het niet direct mogelijk is om analytische integratie toe te passen op de scheepsvorm om oppervlakken, zwaartepunten, et cetera te bepalen. Wat wel mogelijk is, is het opmeten van de lijnen uit het lijnenplan op een aantal punten, deze punten op te nemen in een tabel en vervolgens het oppervlak te benaderen middels numerieke integratie. In deze handleiding worden een aantal technieken uitgelegd hoe dit te doen en vervolgens hoe deze technieken toe te passen om de hydrostatische grootheden van het schip te bepalen. Voordat numerieke integratie wordt uitgelegd, worden eerst een aantal aspecten van het integreren van een oppervlak onder een curve uitgelegd, alsmede het bepalen van statische momenten en traagheidsmomenten. In Geometry of sectie 9 tot en met 9 worden deze technieken verder toegelicht. Het wordt sterk aangeraden om naast deze handleiding ook deze secties te lezen. In sectie 9 wordt er hier en daar iets te ver ingegaan op de achterliggende theorie. 3 Integralen De hier gepresenteerde theorie en figuren zijn gebaseerd op het dictaat door J. Keuning (2011). 3.2 Oppervlak Beschouw een willekeurige continue curve zoals gegeven in Figuur 8. Het oppervlak van het gearceerde strookje met hoogte y en breedte dx is gelijk aan: y dx. Het oppervlak A dat begrensd wordt door de x xo, x xo l en de kromme wordt gevonden door de sommatie van al deze kleine oppervlakjes. Als we de breedte van het strookje naar nul laten gaan dan kennen we uit de wiskunde voor het oppervlak van de figuur de volgende integraal: x y dx x0 3.2 Statisch moment en zwaartepunt Het statisch moment is als volgt gedefinieerd: Het statisch moment (first moment) van een oppervlak elementje ten opzicht van een bepaalde as is het product van het oppervlak van het elementje en zijn afstand tot deze as. Het statisch moment wordt veel toegepast in de constructieleer en in de statica. Het statisch moment kan van een oppervlak bepaald worden, maar ook van een volume of van een massaverdeling. De Engelse term voor statisch moment van oppervlak is first moment of area. Het statisch moment kan gebruikt worden om de verdeling van oppervlak, volume of massa te bepalen en daarmee dan ook het zwaartepunt van dit oppervlak, volume of massa. Figuur 9 Statisch moment t.o. de van een oppervlak onder een willekeurige curve Figuur 9 laat weer een willekeurige curve zien. Voor een klein elementje du dx van de gearceerde strook y dx vinden we het volgende statisch moment ten opzichte van de ds x du dx Voor de hele gearceerde strook kunnen we dan het statisch moment bepalen door te integreren in de hoogte: y y 1 d S x d s x u du y 2 dx 2 0 0 En tot slot voor het hele oppervlak het statisch moment ten opzichte van de Sx: x l x0 1 d 2 x 0 x0 y 2 dx x0 x I y d I y x 2 y dx x0 x0 Voor de berekening van het traagheidsmoment t.o. de voeren we eerst weer een tussenintegratie uit. Voor het kleine elementje du dx van het strookje is het traagheidsmoment ten opzichte van de gelijk aan: di x du dx Voor de hele gearceerde strook kunnen we dan het traagheidsmoment bepalen door te integreren in de hoogte: y y 1 d I x d i x u2 du y 3 dx 3 0 0 En tot slot voor het hele oppervlak het traagheidsmoment ten opzichte van de Sx: x I x0 1 d I 3 x0 y 3 dx x0 3 Numerieke integratie De hiervoor gegeven uitdrukkingen zijn analytische uitdrukkingen. Als in het beschouwde geval y als functie van x bekend zou zijn dan kunnen de integralen zuiver analytisch worden opgelost. Omdat de scheepsvorm niet analytisch gedefinieerd is, moeten we onze toevlucht nemen tot numerieke methoden uitgaande van de verzameling punten waarmee de scheepsvorm wel is gedefinieerd. Zoals we gezien hebben komt integratie neer op oppervlakte bepaling. De meest gebruikte methodes voor oppervlakte bepaling oftewel numerieke integratie zijn de rechthoekregel, de trapeziumregel en de eerste regel van Simpson. Hier zullen we ons tot deze regels beperken, ofschoon er nog een aantal andere zijn. Beschouw hiertoe Figuur 10. Het oppervlak tussen de x x0, x x2 en y f(x) moet worden bepaald. Alleen de functiewaarden y0, y1 en y2 voor x x0, x x1 en x x2 met onderlinge afstand h zijn bekend. Dit zijn discrete punten, vergelijkbaar met bijvoorbeeld de kruispunten tussen spanten en waterlijnen in het lijnenplan. 3.3 Rechthoekregel De meest eenvoudige manier om het oppervlak te benaderen is door het oppervlak te berekenen van een tweetal ingeschreven rechthoeken. Dit staat weergegeven links in Figuur 10. Het oppervlak van een rechthoek is eenvoudig te berekenen uit de gegeven functiewaarden en de onderlinge afstanden. De benadering van het werkelijke oppervlak onder de kromme is echter vrij onnauwkeurig, zoals uit de figuur ook blijkt. Deze methode wordt derhalve in de praktijk weinig toegepast, tenzij de te integreren curve op zeer veel punten bekend is en er met de computer gerekend kan worden. 3.3 Trapeziumregel Een andere methode bestaat uit het bepalen van het oppervlak van twee ingeschreven trapezia eveneens gebruikmakende van de gegeven functiewaarden. Figuur 10 Rechthoekregel en trapeziumregel Het oppervlak onder de kromme kan dan geschreven worden als: 1 A h ( y y 1 y 2 ) 2 De kromme lijn wordt hier benaderd door twee rechte lijnstukken tussen de drie punten in. Dit blijkt in de praktijk een redelijke benadering te zijn voor het oppervlak voor niet te sterk gekromde lijnstukken. Deze regel staat bekend als de trapeziumregel (trapeziodal rule). 3.3 Eerste regel van Simpson Een derde benadering wordt gevonden door het oppervlak onder de kromme te splitsen in een gedeelte te benaderen door een trapezium en het resterende gedeelte door een tweedegraads functie. Het oppervlak van het trapezium is dan gelijk aan: Atrapezium h y2 ( y 0 y 2 ) 2 Figuur 11 Eerste regel van Simpson Het oppervlak van het gearceerde gedeelte wordt benaderd met behulp van het bekende oppervlak van een parabool. Van een parabool is bekend dat het een oppervlak altijd in een e en in een deel verdeeld 3 wordt, zoals aangegeven in Figuur 12, waarin A xA yA en omdat voor het parabool 2 geld is A . Met de hoogte van het parabool van y y y y 2 wordt het oppervlak van het gearceerde deel dan: 2
Mt1450 Geometrie en Stabiliteit - Lijnenplan en Numerieke Integratie - 2015 - 2016
Vak: Statica (WB1630-16)
Universiteit: Technische Universiteit Delft
- Ontdek meer van: