Samenvatting Analyse 1
Analyse 1 (Wi1030WBMT)
Technische Universiteit Delft
Aanbevolen voor jou
Reacties
Preview tekst
Analyse
1 inverse functies
Alsy=f x( ), dan x=f− 1 ( )y
Een functie heet injectief als het volgende geldt: bij iedere y hoort maximaal 1 x in het domein van f(x) zodat f(x) = y (sinus dus niet) Injectieve functies zijn inverteerbaar.
3 impliciet differentiëren
- gegeven een kromme (vb x 2 + y 2 = 25)
- bereken de helling vd raaklijn in een punt Meth 1) maak een functie en differentieer Meth 2) differentieer direct en onthoud dat y van x afhangt
Orthogonale krommen Als f(x)=g(x) en f’(x) g’(x) = -1 dan zijn f en g orthogonaal in x (loodrecht op elkaar)
3 Lineariseren Bepaal de beste lineaire benadering van f(x) rond bv a = π/ Oplossing: - L(x) = mx + n - m = f’(a) - n vinden door (a, f(a)) in te vullen in L(x) Benader f(a+0) f(a+0) ≈ L(a+0) dy = f’(x) dx
5 Hoofdstelling van de integraalrekening Als f een continue functie is op [a,b] dan is:
- functie ( ) ( )
x a
g x =∫ f t dtdifferentieerbaar op (a,b) èn continu op [a,b] en g’(x) = f(x)
2) ( ) ( ) ( )
b a
∫ f x dx⋅ =F b −F a waarbij F x'( )=f x( )
1 / 6 π ¼ π 1 / 3 π ½ π Sin ½ ½ √ 2 ½ √ 3 1 Cos ½ √ 3 ½ √ 2 ½ 0 Tan 1 / 3 √ 3 1 √ 3 xxx
2
1
tan cos
d x dx x
=
sin tan cos
x x x
=
2
2
2
1
arcsin 1 1 arccos 1 1 arctan 1
d x dx x d x dx x d x dx x
=
−
= −
−
=
+
sin arcsin en 2 2
y x x y x
π π = ↔ = − ≤ ≤
5 Substitutieregel Strategie: 1) Introduceer een nieuwe variabele u 2) Bereken du 3) Substitueer u en du in de integraal 4) Integreer 5) Substitueer
7 Partieel integreren Productregel voor differentiëren: (f g)’ (x) = f’(x) g(x) + f(x) g’(x) Integreren:
[ ]
[ ]
( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )
( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )
b b b b a f g x dx af x g x dx af x g x dx f x g x a b b b a f x g x dx f x g x a a f x g x dx
∫ ⋅ =∫ ⋅ +∫ ⋅ =
∫ ⋅ = −∫ ⋅
7 Integreren van rationele functies Algemene formule: 1 1 1 0 1 1 1 0
( )
...
...
m m m m n n n n
f x
a x a x a x a b x b x b x b
− − − −
=
+ + + +
+ + + +
Twee gevallen:
- m ≥ n eerst staartdelen
- m < n breuk splitsen Vb:
Dan de integraal uitrekenen
7 oneigenlijke integralen Type 1: integralen over oneindige intervallen
Definitie: 1) ( ) lim ( )
t a t a f x dx f x dx
∞ →∞
∫ = ∫
- ( ) lim ( )
b b t t f x dx f x dx −∞ → −∞
∫ = ∫
3) ( ) ( ) ( )
a a f x dx f x dx f x dx
∞ ∞ −∞ −∞
∫ = ∫ +∫
Als deze limiet bestaat, heet de integraal convergent Als deze limiet niet bestaat, heet de integraal divergent Type 2: integralen van discontinue functies Definitie: Als een functie f(x) discontinu is in het punt C, en als a<c<b dan is
1) ( ) lim ( )
c t a t c a f x dx f x dx ↑
∫ = ∫
- ( ) lim ( )
b b
∫c f x dx= t c↓ ∫t f x dx
3) ( ) ( ) ( )
b c b a a c
∫ f x dx=∫ f x dx+∫ f x dx
f(x) = f'(x) = g’(x) = g(x) =
2
57 48 57 48 3 2 ( 1)( 2)
Schrijven als: ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) 2 2 ( 1) ( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) A en B bepalen; A=-9 B=66 en invullen
x x x x x x A B x x A B A x B x Ax A Bx B x x x x x x x x
- =
= + =
sin 1 tan ln cos cos
x xdx dx du x C x u
∫ =∫ = −∫ = − +
Apppendix G complexe getallen Vergelijking x 2 +1 = 0 Definitie: i 2 = - Een complex getal is een getal van de vorm z = a + bi met a en b reële getallen Rekenregels:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 bdi bd
a bi c di a c b d i a bi c di ac adi cbi bdi
ac bd ad bc i a bi a bi c di c di c di c
= −
+ + + = + + +
+ ⋅ + = + + +
= − + +
+ + ⋅ −
=
+ + ⋅( )
2 2 2 2 (( ) ( ))
ac adi bci bd 1 c cdi cdi d
ac bd bc ad i di c d
- = − + +
= ⋅ + + −
− +
Conjugeren: a bi+ = −a bi
Polaire vorm: modulus (lengte) = z = a 2 +b 2
cos sin (cos sin ) cos sin
i i
z i z z i z e
z a bi
z e i
θ θ
θ θ θ θ θ θ
= + = + = ⋅
= +
= = +
17 Tweede orde lineaire oplossingen Homogene differentiaalvergelijking: P x y( ) ''+Q x Y( ) '+R x y( ) =G x( )
Stel Y 1 en Y 2 zijn oplossingen van P x y( ) ''+Q x Y( ) '+R x y( ) =G x( )
dan is Y=c Y1 1+c Y2 2ook een oplossing daarvan.
Stel P x( )≠ 0 en Y 1 en Y 2 zijn twee lineair onafhankelijke oplossingen, dan geldt ook dat
Y=c Y1 1+c Y2 2
2
'' ' 0 , ,
0 karakteristieke vergelijking hiervoor
aY bY cy a b c ar br c
+ + = ∈
+ + =
D=b 2 − 4 ac 3 gevallen: D Karakteristieke vergelijking Differentiaal vergelijking
D > 0 2 reële oplossingen, r 1 en r 2 Y x( )=c e 1 r x 1 +c e 2 r x 2
D = 0 1 reële oplossing, r Y x( )=c e 1 rx+c xe 2 rx
D < 0 2 complexe oplossingen, α±βi Y x( )=eαx(c 1 cos(βx)+c 2 sin(βx))
2 2
1 0
1
i
i
i ik
e
i e e e
π π
θ π
+ =
=
= =
− = 4 4 ⋅i
2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) d y dy P x Q x R x y G x dx dx
- =
17 Tweede orde niet-homogene lineaire oplossingen aY''+bY'+cy=G x( )
Stelling: De algemene oplossing van deze vergelijking wordt gegeven door Y=Yc+Yp
waarbij Yc de oplossing van aY''+bY'+cy= 0 is en
Yp (particulier) één bepaalde oplossing van aY''+bY'+cy=G x( ) is
Yp is te bepalen door de methode van de onbepaalde coëfficiënten.
- los de homogene vergelijking op mbv de karakteristieke vergelijking Yc = ...
- bepaal de particuliere oplossing a) ‘raad’ een oplossing
b) vul in, sorteer, los op Yp = ...
Y''+Y' 2− Y=x 2 Y xp( )=Ax 2 +bx c+ Y''+Y' 2− Y=e 3 x Y xp( )=Ae 3 x Y''+Y' 2− Y=sinx Y xp( )=Asinx+Bcosx Y''+Y=sinx Y xp( )=x A( sinx+Bcos )x
Samenvatting Analyse 1
Vak: Analyse 1 (Wi1030WBMT)
Universiteit: Technische Universiteit Delft
