tentamen januari 2007 antwoorden
Structural Mechanics 4 (CTB3330)
Technische Universiteit Delft
Aanbevolen voor jou
Reacties
Preview tekst
ANTWOORDEN
OPGAVE 1
a) Hoofdspanningstensor is : 1 2
100 0
0 20
σ−
=
−
b) De cirkel van Mohr kan getekend worden op basis van de gegeven hoofdspanningen en hoofdrichtingen. De plaats van het RC op de cirkel ligt hiermee vast.
c) De spanningen op de vlakken kunnen worden bepaald met de cirkel van Mohr door de normaal van het vlak door het RC te tekenen en het snijpunt met de cirkel te
bepalen. De spanningtensor in het x-y-assenstelsel is:
88 36
36 8
σx y−
−
=
− −
d) Zie figuur rechts:
e) Met de spannings-rek formules wordt de rektensor in
het x-y- assenstelsel:
4 6, 0 3, 0
10
3, 0 2, 0
εx y
− −
−
=
− −
f) Toetsen aan Tresca houdt in dat de grootste cirkeldiameter maatgevend is:
115
0, 96
120
γ= = Het materiaal bezwijkt volgens het model van Tresca.
σ 1
(σxx;σxy)
(σyy;σyx)
xx
yy
σ
σ
x
RC
σ 2
r
m
σyx
σxy
// x-as
// y-as
y
(1)
(2)
8,0 N/mm
2
r = 60 N/mm
2
m = 40 N/mm 2
2 1 2 2
3
100, 0 N/mm
20, 0 N/mm
0
m r
m r
σ
σ
σ
= + =
= − = −
=
Cirkel van Mohr
voor de spanningen
2 36 N/mm
2 88 N/mm
2 36 N/mm
2 8 N/mm
2 36 N/mm
2 8 N/mm
2 88 N/mm
OPGAVE 2
De constructie is hieronder nog eens weergegeven :
De bijbehorende invloedslijnen t. een eenheidslast zijn hieronder weergegeven.
3,0 m 3,0 m 2,0 m
B
A S1 S
C 3,0 m
D
z-as
x-as
2,0 m
θ=1,
Invloedslijn
voor MB
3,
Invloedslijn
voor VB-rechts
1,
Invloedslijn
voor w-S
kromme lijn
rechte lijn rechte lijn
ongunstigste
belasting
configuratie
voor MB
1 MB−max=5, 0 (× 2 × −( 3, 0) 6, 0)× = −45 kNm
1,
5,0 kN/m
1,
Invloedslijn
voor VA
1,
Invloedslijn
voor φ-A
kromme lijn
kromme lijn
rechte lijn 1,
Mechanisme 1 :
p p p p p
p p p
2 2 2 0
6
3, 0
2
M M M M F a
M M
F
a a
− × θ− × θ− × θ− × θ+ × × θ= ⇔
= =
Mechanisme 2: 2 2 p p p 3 p 3 p
p 1 p p 3
3 2 0
16
5
3
M M M M F a
M M
F
a a
− × θ− × θ− × θ− × θ+ × × θ= ⇔
= =
Mechanisme 3:
p p p p p p
p 2 p p 5
3 2 2 2 2 3 0
12
2
5
M M M M F a F a
M M
F
a a
− × θ− × θ− × θ− × θ+ × × θ+ × × θ= ⇔
= =
Mechanisme 4: (maatgevend mechanisme) 4 4 p p p 3 p 3 p p
p 1 p p 6
3 2 2 2 0
26
2
12
M M M M F a F a
M M
F
a a
− × θ− × θ− × θ− × θ+ × × θ+ × × θ= ⇔
= =
Mechanisme 5 = Mechanisme 1
De laagste bezwijklast wordt geleverd door mechanisme 4. Als nergens in de constructie de
sterkte van de staafdelen wordt overschreden moet mechanisme 4 het bezwijkmechanisme
zijn. Ter controle wordt de momentenlijn behorende bij mechanisme 4 getekend.
TIP : De horizontale oplegreactie in B kan gevonden worden uit het momentenevenwicht
van de gehele constructie om A. Vervolgens kunnen met de vrijgemaakte staven AC
en BE en de bekende momenten op de uiteinden van deze staven, de verticale
oplegreacties in A en B worden bepaald.
Figuur : Oplegreacties Figuur : M-lijn
A
B
C
E
Fp Fp
D
41
12
Mp
a
Mp
a
10
3
Mp
a
3 Mp
Mp
41
12
Mp
a
Mp
2 Mp
Mp
2 Mp
3 Mp
1 6 Mp
1 6 Mp
Merk op: Nergens in de constructie wordt de sterkte overschreden.
OPGAVE 4
a) Ten opzichte van de bovenrand ligt het NC op:
1 2 2 5 41, 67 mm 3 6
NC
t a a t a a a z a t
× × + × × ×
= = =
×
Ten opzichte van de linkerrand ligt het NC op:
0 2 2
33, 33 mm 3 3
NC
a t a t a a y a t
× × + × ×
= = =
×
De traagheidsgrootheden kunnen nu worden bepaald t. het NC:
6
1 3 1 2 2 2 3 8 2 12 3 3
1 3 1 2 1 2 3 8 2 12 3 6
2 1 1 1 3 8 2 3 3 3 6
3 180 10 N
4
8 2 ( ) ( ) 2000 10 Nmm 3
1 ( ) 2 ( ) 375 10 Nmm 4
1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 500 10 Nmm 3
yy
zz
yz
EA Eat
EI E t a ta a ta a Eta
EI E t a ta a at a Eta
EI E ta a a ta a a Eta
= = ×
= × + × + × = = ×
= × + × + × = = ×
= × − × + × × − = − = − ×
b) De doorsnede wordt belast op buiging en extensie, de ligging van de neutrale lijn is
gegeven. De vergelijking voor de nl is daarmee:
1 1 2 a+ 2 y z+ = 0
c) De rekverdeling in de doorsnede wordt bepaald met: ε( , )y z = +ε κy× +y κz×z
De neutrale lijn moet ook in dit vlak liggen hetgeen inhoudt:
( )
1 1 0 = +ε κy× +y κz× =z C× 2 a+ 2 y z+ C is een nog te bepalen schalingsfactor
De rek t. het NC is bekend, deze is immers:
4 6
36000
2, 0 10
180 10
N
EA
ε
− = = = × ×
Er moet gelden:
4 1 5 2
2 2, 0 10
0, 8 10
50, 0
ε Ca C
− × × − = = = ×
Hiermee kunnen de krommingen in het x-y en x-z vlak worden bepaald:
1 5 5 κy 2 C 0, 4 10 ; κz C 0, 8 10 ;
− − = = × = = ×
d) De momenten in deze vlakken volgen uit de constitutieve betrekking voor buiging:
y yy yz y
z yz zz z
M EI EI
M EI EI
κ
κ
=
3 3 My=400 10 Nmm× Mz=100 10 Nmm×
Het krommingsvlak staat onder een hoek: tan 2
z k y
κ α κ
= =
Het belastingsvlak staat onder een hoek:
1
tan 4
z m y
M
M
α = =
De doorsnede kromt dus zeker niet in hetzelfde vlak als waarin deze wordt belast!
Schuifspanningen
De doorsnede is niet-symmetrisch waardoor er geen gebruik kan worden gemaakt
van de gebruikelijke methode voor het bepalen van de schuifspanningen tenzij het y-z-assenstelsel samenvalt met de hoofdrichting. Er moet dus gebruik worden
gemaakt van de algmene methode:
( ) ( ) ( ) ; ( )
a a a M x x xt a
R s s V M b
= − σ =
Hierbij is het van belang dat alleen de normaalspanningen worden gebruikt t.
het buigingsaandeel. De eerder bepaalde spanningsverdeling voldoet hier niet aan.
We moeten ons dus baseren op het spanningsveld:
5 5 ( , ) 0 0, 4 10 0, 8 10
en:
( , ) ( , )
y z y y z z y z
y z E y z
ε κ κ
σ ε
− − = + × + × = × + ×
= ×
E N/mm
2 y z Spanning N/mm
2
R 200000 33,33 -41,67 -40,
S 200000 33,33 8,33 40,
T 200000 66,67 8,33 -40,
Figuur : Normaalspanningen t. alleen buiging
f) De maximale schuifspanning treedt op waar de neutrale lijn t. alleen buiging de
doorsnede snijdt. Er zijn twee mogelijke punten, U en V. Uit de formule voor de
schuifspanning blijkt dat de maximale schuifspanning optreedt daar waar de
( ) M
a R
maximaal is. Op basis van het normaalspanningsverloop is in te zien dat het
snijpunt in de onderflens maatgevend zal zijn. Dit punt waar de normaalspanning
nul is wordt aangeduid met V. Dit punt heeft t. T een afstand van 50 mm
hetgeen snel kan worden ingezien uit de bovenstaande figuur.
-
-
U
V
S
R
50 mm
100 mm
33,
nl
40 Nmm
2
40 Nmm
2
+
40 Nmm
2
+
41,67 mm
z
y
g) De grootte van de schuifspanning in V kan worden bepaald door de resultante
van de normaalspaning te bepalen op het afschuivende deel VT.
Figuur : Tekenafspraak σxt
De positieve richting van de schuifspanningen zijn in blauw in
de figuur hiernaast weergegeven (zie ook diktaat). Deze richting
komt overeen met de richting van de dwarskracht in de y-richting.
De richting van deze schuifspanning werd overigens niet gevraagd.
h) De schuifspanning in S moet nul zijn. Dat is eenvoudig in te zien uit het
normaalspanningsverloop.
Extra toelichting (valt buiten de beoordeling)
De schuifspanning is nul op de uiteinden R en T en neemt parabolisch toe tot de
maximale waarde in U en V voor resp. het doorsnede deel RS en ST om vervolgens
weer af te nemen tot nul in S. Voor dit profiel was de schuifspanning ook snel te bepalen door je te realiseren dat de Vy wordt opgenomen in het deel ST en de Vz
wordt opgenomen in het deel RS. Deze delen kunnen we, vanwege het hierboven
geschetste schuifspanningsverloop, als strippen beschouwen waarvoor geldt:
2 max
2 max
3
12, 5 N/mm 2
3 25, 0 N/mm 2 2
RS z
ST y
V
at
V
at
τ
τ
= × =
= × =
x
t
σxt=σtx
V
T
( )
( )
( )
3
2 2
3
2
1
( 40) 50 6 6000 N
2
412, 31 10 Nmm
10000 2500 = 10307,76 N
6000
10307, 76
6 412, 31 10
25, 0 N/mm
a M
a M xt a
xt
xt
R
R
V
b M
M
V
σ
σ
σ
= × − × × = −
= − ⇔
= ×
= +
−
= − ×
× ×
=
tentamen januari 2007 antwoorden
Vak: Structural Mechanics 4 (CTB3330)
Universiteit: Technische Universiteit Delft
- Ontdek meer van:
